Capítulo 2 — Sistemas de equações e comparação de funções lineares

No Capítulo 1, modelamos uma variável em função de outra com expressões do tipo \(f(x)=mx+b\). Agora avançamos para situações em que duas relações lineares atuam ao mesmo tempo. Isso nos leva naturalmente a sistemas de equações e à interpretação gráfica de interseções.

2.1 Sistema linear \(2\times 2\) como encontro de duas retas

Um sistema linear com duas incógnitas pode ser escrito como:

\[ \begin{cases} a_1x+b_1y=c_1 \\ a_2x+b_2y=c_2 \end{cases} \]

Cada equação representa uma reta no plano cartesiano. A solução do sistema é o ponto \((x,y)\) que satisfaz as duas equações ao mesmo tempo.

Se isolarmos \(y\), obtemos formas afins:

\[ y=m_1x+n_1 \quad \text{e} \quad y=m_2x+n_2 \]

A comparação entre inclinações e interceptos ajuda a antecipar o comportamento do sistema.

2.2 Interpretação gráfica: três cenários

Para duas retas, temos três casos clássicos:

Relação entre as retas	Condição típica	Interpretação do sistema
Concorrentes	\(m_1\neq m_2\)	Uma solução (interseção única)
Paralelas distintas	\(m_1=m_2\) e \(n_1\neq n_2\)	Nenhuma solução
Coincidentes	\(m_1=m_2\) e \(n_1=n_2\)	Infinitas soluções

Essa leitura conecta álgebra e geometria: resolver o sistema é encontrar a interseção.

2.3 Exemplo resolvido: ponto de interseção

Considere as funções:

\[ f(x)=2x+1 \quad \text{e} \quad g(x)=-x+7 \]

Para descobrir o ponto em que se cruzam, igualamos as imagens:

\[ 2x+1=-x+7 \]

Logo,

\[ 3x=6 \Rightarrow x=2 \]

Substituindo em qualquer função,

\[ y=f(2)=2\cdot 2+1=5 \]

Portanto, o ponto de interseção é:

\[ (2,5) \]

Também podemos escrever como sistema:

\[ \begin{cases} y=2x+1 \\ y=-x+7 \end{cases} \]

A solução é a mesma, pois representa o mesmo problema.

2.4 Comparando crescimento de funções lineares

Ao comparar funções afins, o coeficiente angular \(m\) indica a taxa de variação. Se \(m_f>m_g\), então \(f\) cresce mais rápido que \(g\).

Exemplo:

\[ f(x)=3x-2, \quad g(x)=x+4 \]

A diferença é:

\[ f(x)-g(x)=(3x-2)-(x+4)=2x-6 \]

Para saber quando \(f\) supera \(g\), resolvemos:

\[ 2x-6>0 \Rightarrow x>3 \]

• para \(x<3\), vale \(f(x)<g(x)\);
• para \(x=3\), vale \(f(x)=g(x)\);
• para \(x>3\), vale \(f(x)>g(x)\).

Esse raciocínio é útil para comparar custo, desempenho e consumo em problemas de engenharia.

2.5 Forma matricial introdutória para o sistema

Mesmo no Volume 2, já podemos organizar um sistema em notação matricial. Para

\[ \begin{cases} 2x+y=5 \\ -x+y=1 \end{cases} \]

escrevemos:

\[ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 \\ 1 \end{bmatrix} \]

Essa estrutura prepara a passagem para o Volume 3, em que operações com vetores e matrizes serão tratadas de forma sistemática.

2.6 Fechamento do capítulo

Neste capítulo, consolidamos a ideia de que sistemas lineares descrevem o encontro de relações lineares. A leitura gráfica da interseção complementa o método algébrico e antecipa a linguagem matricial. No próximo volume, essa linguagem será expandida para operações vetoriais, produto matriz-vetor e determinantes.