Capítulo 1 — Equações, funções e leitura básica de gráficos¶

No Volume 1 trabalhamos manipulação algébrica. Agora usamos essas habilidades para modelar relações entre variáveis. Neste capítulo, passamos de expressões para equações e funções lineares.

1.1 Equações do primeiro grau¶

Uma equação é uma igualdade com incógnita, como \(2x+3=11\). Resolver significa encontrar o valor de \(x\) que torna a igualdade verdadeira.

\[ 2x+3=11 \Rightarrow 2x=8 \Rightarrow x=4 \]

Exemplo resolvido (em etapas alinhadas)¶

Resolver \(3(x-2)+4=2x+7\).

\[ \begin{aligned} 3(x-2)+4 &= 2x+7 \\ 3x-6+4 &= 2x+7 \\ 3x-2 &= 2x+7 \\ 3x-2x &= 7+2 \\ x &= 9 \end{aligned} \]

1.2 Função linear e interpretação de parâmetros¶

Uma função afim pode ser escrita como

\[ f(x)=mx+b \]

onde:

\(m\) é a inclinação da reta;
\(b\) é o valor de intercepto no eixo vertical (quando \(x=0\)).

Para \(f(x)=2x+1\):

\[ f(0)=1, \quad f(1)=3, \quad f(2)=5 \]

Tabela de valores:

\(x\)	\(f(x)=2x+1\)
0	1
1	3
2	5
3	7

1.3 Leitura básica de gráfico sem desenho detalhado¶

Mesmo sem um gráfico explícito, podemos interpretar pontos da reta. Se dois pontos são \((1,3)\) e \((3,7)\), então:

\[ m=\frac{7-3}{3-1}=2 \]

Depois encontramos \(b\) usando \(y=mx+b\) em \((1,3)\):

\[ 3=2\cdot 1+b \Rightarrow b=1 \]

Logo, a função é \(y=2x+1\).

1.4 Pseudo-código para gerar pares \((x,f(x))\)¶

algoritmo tabela_funcao_linear(m, b, x_inicial, x_final)
    para x de x_inicial até x_final
        y <- m*x + b
        imprimir(x, y)
    fim_para
fim

Esse procedimento ajuda a construir rapidamente dados para interpretação gráfica.

1.5 Ponte para o Volume 3¶

No Volume 3, o conjunto de equações lineares será escrito em forma vetorial e matricial. A equação escalar \(mx+b\) é uma porta de entrada para sistemas com várias incógnitas.