Capítulo 2 — Razões, proporções e porcentagens

Neste capítulo, vamos conectar aritmética e álgebra por meio de uma ideia central: comparar grandezas. Quando dizemos que uma receita usa 2 partes de água para 1 parte de suco concentrado, estamos falando de razão. Quando afirmamos que duas razões representam a mesma relação, temos uma proporção.

Essas ideias aparecem em engenharia o tempo todo: escalas de desenhos, consumo de energia por hora, custo por unidade e concentração de soluções.

2.1 Razão entre grandezas

Uma razão compara duas quantidades compatíveis. Se uma turma tem 18 estudantes e 12 computadores disponíveis, a razão estudantes/computador é:

\[ \frac{18}{12} = \frac{3}{2} = 1{,}5 \]

Interpretação: há, em média, 1,5 estudante por computador. Também podemos inverter a leitura e calcular computadores por estudante:

\[ \frac{12}{18} = \frac{2}{3} \]

Essa inversão muda o significado, então é essencial indicar claramente quem está no numerador e quem está no denominador.

2.2 Proporção e equivalência de razões

Uma proporção é uma igualdade entre duas razões:

\[ \frac{a}{b} = \frac{c}{d}, \quad b \neq 0,\ d \neq 0 \]

Nessa situação, vale a multiplicação cruzada:

\[ ad = bc \]

Esse resultado é útil para verificar se duas razões são equivalentes. Por exemplo:

\[ \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]

pois

\[ 4 \cdot 5 = 10 \cdot 2 = 20. \]

2.3 Porcentagem como razão de base 100

Porcentagem é uma forma padronizada de razão:

\[ p\% = \frac{p}{100} \]

Exemplos diretos:

• \(25\% = \frac{25}{100} = 0{,}25\);
• \(8\% = 0{,}08\);
• \(135\% = 1{,}35\).

Se um produto custa R$ 200 e recebe desconto de \(15\%\), o valor do desconto é:

\[ 0{,}15 \cdot 200 = 30 \]

Logo, o novo preço é R$ 170.

Tabela rápida de referência

Situação	Expressão	Resultado
10% de 80	\(0{,}10 \cdot 80\)	8
35% de 60	\(0{,}35 \cdot 60\)	21
Aumento de 12% em 50	\(50 \cdot (1+0{,}12)\)	56
Redução de 20% em 90	\(90 \cdot (1-0{,}20)\)	72

2.4 Regra de três e raciocínio proporcional

A regra de três simples organiza problemas de proporcionalidade entre duas grandezas.

Exemplo resolvido

Uma máquina produz 120 peças em 3 horas, mantendo ritmo constante. Quantas peças produzirá em 5 horas?

1. Relacionamos peças e horas:

\[ \frac{120}{3} = \frac{x}{5} \]

1. Multiplicamos em cruz:

\[ 120 \cdot 5 = 3x \]

1. Isolamos \(x\):

\[ x = \frac{600}{3} = 200 \]

Resposta: em 5 horas, a produção esperada é 200 peças.

2.5 Manipulação algébrica em contextos proporcionais

A álgebra ajuda a resolver proporções de modo geral. Considere:

\[ \frac{x}{12} = \frac{7}{8} \]

Para encontrar \(x\), multiplicamos ambos os lados por 12:

\[ x = 12 \cdot \frac{7}{8} = \frac{84}{8} = 10{,}5 \]

Outro formato comum é o cálculo de valor final com taxa percentual \(r\):

\[ V_f = V_i(1+r) \]

• se \(r>0\), temos aumento;
• se \(r<0\), temos redução.

Exemplo: com \(V_i=500\) e \(r=-0{,}08\),

\[ V_f = 500(1-0{,}08) = 500 \cdot 0{,}92 = 460. \]

2.6 Procedimento simples para cálculo percentual

O pseudocódigo abaixo descreve um procedimento básico para aplicar taxa percentual em um valor inicial.

algoritmo aplicar_taxa_percentual(valor_inicial, taxa_percentual)
    taxa_decimal <- taxa_percentual / 100
    valor_final <- valor_inicial * (1 + taxa_decimal)
    retornar valor_final
fim

Se valor_inicial = 250 e taxa_percentual = -12, obtemos 220.

2.7 Fechamento do capítulo

Razões, proporções e porcentagens formam um bloco essencial para modelar fenômenos simples. No restante do Volume 1, esse raciocínio será reutilizado para interpretar dados, resolver problemas algébricos e preparar terreno para funções no volume seguinte.