Capítulo 2 — Operações matriciais e determinante em sistemas pequenos

No capítulo anterior, escrevemos sistemas lineares como \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\). Agora detalhamos as operações que sustentam essa notação: soma de vetores, produto matriz-vetor, produto matriz-matriz e uma intuição de determinante para sistemas \(2\times 2\).

2.1 Operações básicas com vetores

Considere:

\[ \mathbf{u}=\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}, \quad \mathbf{v}=\begin{bmatrix}-3\\4\end{bmatrix} \]

Soma:

\[ \mathbf{u}+\mathbf{v}= \begin{bmatrix}1+(-3)\\2+4\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}-2\\6\end{bmatrix} \]

Combinação linear com escalar \(\lambda=2\):

\[ 2\mathbf{u}-\mathbf{v}= \begin{bmatrix}2\\4\end{bmatrix}- \begin{bmatrix}-3\\4\end{bmatrix}= \begin{bmatrix}5\\0\end{bmatrix} \]

Essas operações aparecem naturalmente em etapas de eliminação e verificação de soluções.

2.2 Produto matriz-vetor como síntese de equações

Se

\[ A=\begin{bmatrix}2 & 1\\1 & -1\end{bmatrix} \quad \text{e} \quad \mathbf{x}=\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}, \]

então

\[ A\mathbf{x}= \begin{bmatrix} 2x_1+x_2 \\ x_1-x_2 \end{bmatrix} \]

Observe que cada linha da matriz produz uma equação linear. Isso explica por que \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\) representa um sistema completo.

Exemplo resolvido

Se \(\mathbf{x}=\begin{bmatrix}2\\1\end{bmatrix}\), temos:

\[ A\mathbf{x}= \begin{bmatrix} 2\cdot 2 + 1\cdot 1 \\ 1\cdot 2 + (-1)\cdot 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}5\\1\end{bmatrix} \]

Logo, \(\mathbf{x}\) resolve o sistema com termo independente \(\mathbf{b}=\begin{bmatrix}5\\1\end{bmatrix}\).

2.3 Produto matriz-matriz e composição de transformações

Para matrizes compatíveis,

\[ C=AB, \quad c_{ij}=\sum_k a_{ik}b_{kj} \]

No caso \(2\times 2\):

\[ A=\begin{bmatrix}1 & 2\\0 & 1\end{bmatrix}, \quad B=\begin{bmatrix}3 & -1\\4 & 2\end{bmatrix} \]

\[ AB= \begin{bmatrix} 1\cdot 3 + 2\cdot 4 & 1\cdot (-1)+2\cdot 2 \\ 0\cdot 3 + 1\cdot 4 & 0\cdot (-1)+1\cdot 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}11 & 3\\4 & 2\end{bmatrix} \]

Esse produto será útil quando estudarmos métodos algorítmicos para cadeias de operações lineares.

2.4 Determinante em \(2\times 2\): intuição de invertibilidade

Para

\[ A=\begin{bmatrix}a & b\\c & d\end{bmatrix}, \]

o determinante é

\[ \det(A)=ad-bc \]

Em sistemas \(2\times 2\), ele funciona como um teste rápido de solução única.

Situação	Condição em \(\det(A)\)	Consequência para \(A\mathbf{x}=\mathbf{b}\)
Matriz inversível	\(\det(A)\neq 0\)	Solução única
Matriz singular	\(\det(A)=0\)	Sem solução única (nenhuma ou infinitas)

Exemplo curto

Considere

\[ A=\begin{bmatrix}2 & 1\\4 & 2\end{bmatrix} \]

Então

\[ \det(A)=2\cdot 2 - 1\cdot 4 = 0 \]

As linhas são proporcionais, então as equações associadas não são independentes. Geometricamente, isso indica retas paralelas ou coincidentes no plano.

2.5 Conexão com o Volume 2

No Volume 2, o cruzamento de duas funções lineares apareceu como ponto de interseção. Aqui, o mesmo problema foi reescrito como estrutura matricial.

Se

\[ \begin{cases} y=2x+1 \\ y=-x+7 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 2x-y=-1 \\ x+y=7 \end{cases} \]

podemos escrever:

\[ \underbrace{\begin{bmatrix}2 & -1\\1 & 1\end{bmatrix}}_{A} \underbrace{\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}}_{\mathbf{x}} = \underbrace{\begin{bmatrix}-1\\7\end{bmatrix}}_{\mathbf{b}} \]

Como

\[ \det(A)=2\cdot 1 - (-1)\cdot 1 = 3\neq 0, \]

há solução única, coerente com a interseção única obtida no volume anterior.

2.6 Fechamento do capítulo

A álgebra linear organiza e acelera problemas com múltiplas variáveis. Vetores e matrizes não substituem a intuição geométrica; eles a tornam operacional. Nos próximos capítulos, essa base permitirá discutir métodos de resolução e aplicações computacionais com maior escala.